viernes, 30 de noviembre de 2018

ELEMENTOS

Resultado de imagen para aprendiendo
Dibujo de los focos, radio vector, eje focal, eje no transverso, centro y vértices de la hipérbola
  • Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2).

  • Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.

  • Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.

  • Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.

  • Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.





  • Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1V2).
    Dibujo de la distancia focal, semieje real, semieje imaginario, asíntotas, puntos interiores y puntos exteriores de la hipérbola
  • Distancia focal: es la distancia 2centre focos. También se denota como F1F2.
  • Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
  • Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2 se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
    Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
    Fórmula de la relación entre semiejes y la distancia focal de la hipérbola.




  • Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
  • Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).
  • Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto Pi.
                                              Dibujo de una tangente de la hipérbola.



Dibujo de la circunferencia principal y las directrices de la hipérbola.
  • Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.

  • Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).





Hipérbola equilátera

Es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

                                     Dibujo de una hipérbola equilátera.

Relacion entre semiejes de la hiperbola. 

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
Fórmula de la relación entre semiejes y la distancia focal de la hipérbola.


Dibujo de la relación entre semiejes de la hipérbola.





Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Fórmula del cálculo del semieje imaginario a partir del semieje real y la distancia focal de la hipérbola


Ecuacion de la hipèrbola: 

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

                               Fórmula de la ecuación de la hipérbola

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

                                                                     Fórmula de la ecuación de la hipérbola centrada en (0,0).
Asìntotas: 

Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.

Fórmula de las asíntotas de la hipérbola

                                           Dibujo las asíntotas de la hipérbola

Excentricidad: 

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.

                                               Fórmula de la excentricidad de la hipérbola
                                                                 Dibujo de los factores que intervienen en la excentricidad de la hipérbola
La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:

                                                                     Fórmula de la excentricidad de la hipérbola a partir de los ejes.




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