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Ejercicios:

Ejemplo 1.- En la siguiente hipérbola  calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

Ejercicio 2.-  En la  siguiente hipérbola calcular los ejes, focos, vértices y asíntotas y representa gráficamente:

Ejercicio 3.- Halla las ecuaciones en forma reducida de las hipérbolas de focos en el eje OX y que cumplan las siguientes condiciones:

a)   Pasa por el punto    (2, 0)   y tiene por asíntotas   y = ±3x
b)   Los focos son   (-3, 0) y (3, 0)   y la distancia entre sus vértices 4
c)   Un foco es   (5, 0)   y su excentricidad es 2
d)   Pasa por el punto   (6, 4)   y cuyo eje focal mide 6.

a)

b)


c)



d)




http://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/lg_conica/problemas/p_hiperbola.html

ELEMENTOS

• Focos: son los dos puntos fijos (F₁ y F₂).

• Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos.

• Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso.

• Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal.

• Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso.

• Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V₁y V₂).

• Distancia focal: es la distancia 2centre focos. También se denota como F₁F₂.
• Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
• Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B₁ y B₂. Los puntos B₁ y B₂ se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.
  Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:
  

• Asíntotas: son las líneas rectas (A₁ y A₂) que se aproximan a la hipérbola en el infinito.
• Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).

• Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto P_i de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto P_i.

                                              

• Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.

• Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D₁ y D₂). Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A₁ y A₂).

Hipérbola equilátera

Es la que tiene sus asíntotas (A₁ y A₂) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

                                     

Relacion entre semiejes de la hiperbola. 

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B₁ y B₂. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V₁ y V₂. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B₁ y B₂. Siendo O=(o₁,o₂) el centro de la hipérbola, tendremos que B₁=(o₁,o₂+b) y B₂=(o₁,o₂-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Ecuacion de la hipèrbola: 

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o₁,o₂) como:

                               

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

                                                                     

Asìntotas: 

Las asíntotas de la hipérbola (A₁ y A₂) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.

                                           

Excentricidad: 

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.

                                               

                                                                 

La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:

                                                                     

https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/hiperbola/

DEFINICION

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. 








Elementos de la hipérbola: 

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 

2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 

3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 

5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. 

Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 

6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 

7. Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c. 

8. Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a. 

9. Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b. 

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 

11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 

 

12. Relación entre los semiejes: 





https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/ConceptoDeHiperbolaYSusElementos.html

https://www.google.com.pe/search?q=aprendiendo&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiPpoSSu_3eAhXDGJAKHXwpAwMQ_AUIDigB&biw=1536&bih=736#imgrc=cGilR6HrL0JahM: